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CKKS 부트스트랩 (Bootstrapping)

암호문은 생성시 잔여 곱셈 횟수가 설정이 되어있고 이후 곱셈을 할 때마다 결과물의 잔여 곱셈 횟수(level)가 줄어드는 방식입니다. 잔여 곱셈 횟수가 0인 암호문은 더이상 곱셈을 할 수 없고 부트스트래핑 연산을 해야합니다.

일반 부트스트랩

부트스트랩 연산에는 부트스트랩 키가 필요합니다. 부트스트랩 연산에 필요한 모든 고정 회전 키로 이루어져 있어서 크기가 12.3GB 정도입니다.

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
bootstrap_key = engine.create_bootstrap_key(secret_key, stage_count=3)

message = [-1, 0, 1]
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=0)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, bootstrap_key
)

간이 부트스트랩 키

부트스트랩 키를 대신해 회전 키와 간이 부트스트랩 키를 사용해서도 부트스트랩을 수행할 수 있습니다. 회전 키를 사용하여 메모리 사용이 3.8GB 정도로 적지만 느립니다.

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
rotation_key = engine.create_rotation_key(secret_key)
small_bootstrap_key = engine.create_small_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 0, 1]
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=0)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
)

bootstrapped_stage_count_5 = engine.bootstrap(
    ciphertext,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
    stage_count=5,
)

벤치마크

다음은 부트스트랩의 성능 벤치마크입니다. 실험환경은 CPU의 경우 Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU @ 3.80GHz 을 사용하였고 GPU의 경우 NVIDIA GeForce RTX 5090를 사용하였습니다. 10번 측정한 값의 평균치입니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 103.576 43.935 31.667 2.422
Small 4 66.286 27.947 19.814 1.621
Small 5 66.098 26.751 18.845 1.499
Medium 3 30.534 12.784 9.860 0.723
Medium 4 25.265 10.231 7.871 0.585
Medium 5 23.741 9.676 7.231 0.550
Large 3 27.901 11.898 9.601 0.704
Large 4 24.348 10.211 8.158 0.612
Large 5 21.952 8.876 6.938 0.540

14 레벨 부트스트랩

기존의 파라미터로는 부트트스랩 후 레벨이 최대 10이 남습니다. stage_count를 3으로 주었을 때 그렇고, stage_count를 키우면 속도가 더 빠르지만 남는 레벨은 더 줄어듭니다. 이를 극복하기 위해서 부트스트랩 후 레벨이 14가 되는 새로운 파라미터를 추가하였습니다. 파라미터의 제약상 stage_count는 3만 지원됩니다.

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap_to_14_levels=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
bootstrap_key = engine.create_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 0, 1]
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=0)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, bootstrap_key
)

간이 부트스트랩 키

간이 부트스트랩 키도 사용 가능합니다.

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap_to_14_levels=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
rotation_key = engine.create_rotation_key(secret_key)
small_bootstrap_key = engine.create_small_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 0, 1]
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=0)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
)

벤치마크

다음은 14 레벨 부트스트랩의 성능 벤치마크입니다. 실험환경은 CPU의 경우 Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU @ 3.80GHz 을 사용하였고 GPU의 경우 NVIDIA GeForce RTX 5090를 사용하였습니다. 10번 측정한 값의 평균치입니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 128.663 53.768 38.903 2.648
Medium 3 37.597 15.653 12.453 0.780
Large 3 33.732 14.571 11.857 0.761

고밀도 방식

다음은 고밀도 방식의 14 레벨 부트스트랩의 성능 벤치마크입니다. 실험환경은 CPU의 경우 Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU @ 3.80GHz 을 사용하였고 GPU의 경우 NVIDIA GeForce RTX 5090를 사용하였습니다. 10번 측정한 값의 평균치입니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 96.820 41.575 29.676 2.440
Medium 3 29.001 12.017 9.370 0.696
Large 3 26.245 11.263 9.127 0.688

희소 부트스트랩

희소 부트스트랩은 암호문의 슬롯 갯수를 줄여서 부트스트랩 속도를 빠르게 하는 기법입니다. 간이 부트스트랩 키를 사용하거나 부트스트랩 키를 생성해서 수행할 수 있습니다.

부트스트랩 키

from desilofhe import Engine

engine = Engine(slot_count=1024, use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
bootstrap_key = engine.create_bootstrap_key(secret_key, stage_count=3)

message = [-1, 0, 1, 0] * 256
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=0)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, bootstrap_key
)

간이 부트스트랩 키

from desilofhe import Engine

engine = Engine(slot_count=1024, use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
rotation_key = engine.create_rotation_key(secret_key)
small_bootstrap_key = engine.create_small_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 0, 1, 0] * 256
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=0)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
    stage_count=1,
)

벤치마크

다음은 희소 부트스트랩의 성능 벤치마크입니다. 실험환경은 CPU의 경우 Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU @ 3.80GHz 을 사용하였고 GPU의 경우 NVIDIA GeForce RTX 5090를 사용하였습니다. 10번 측정한 값의 평균치입니다.

Slot
Count		 Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
32 Small 1 40.939 15.817 11.287 0.702
32 Small 2 30.597 12.426 8.820 0.565
32 Medium 1 27.247 10.853 8.025 0.529
32 Medium 2 25.596 10.118 7.346 0.488
32 Large 1 26.732 10.851 8.135 0.527
1024 Small 2 65.276 26.217 18.302 1.165
1024 Small 3 46.940 18.205 12.952 0.846
1024 Small 4 43.523 16.964 12.020 0.825
1024 Medium 2 28.699 11.951 9.054 0.632
1024 Medium 3 25.617 10.222 7.640 0.530
1024 Medium 4 23.844 9.620 7.126 0.512
1024 Large 2 27.579 11.412 8.985 0.616
1024 Large 3 24.704 10.051 7.687 0.532

손실 부트스트랩

손실 부트스트랩은 부트스트랩 내부 연산 순서를 변경하여서 노이즈가 증가하는 대신 빠른 속도를 얻는 기법입니다. 결과물의 소수점 유효자리가 대강 절반 정도 줄어듭니다. 일반적으로는 일반 부트스트랩의 사용이 권장됩니다만 필요한 정확도에 따라서 의미가 있을 수도 있습니다. 간이 부트스트랩 키를 사용하거나 손실 부트스트랩 키를 생성해서 수행할 수 있습니다. 14 레벨 부트스트랩 파라미터에서는 지원하지 않습니다.

손실 부트스트랩 키

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
lossy_bootstrap_key = engine.create_lossy_bootstrap_key(
    secret_key, stage_count=3
)

message = [-1, 0, 1]
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=3)
bootstrapped = engine.lossy_bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, lossy_bootstrap_key
)

간이 부트스트랩 키

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
rotation_key = engine.create_rotation_key(secret_key)
small_bootstrap_key = engine.create_small_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 0, 1]
ciphertext_level_3 = engine.encrypt(message, public_key, level=3)
bootstrapped = engine.lossy_bootstrap(
    ciphertext_level_3,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
)

ciphertext_level_5 = engine.encrypt(message, public_key, level=5)
bootstrapped_stage_count_5 = engine.lossy_bootstrap(
    ciphertext_level_5,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
    stage_count=5,
)

벤치마크

다음은 손실 부트스트랩의 성능 벤치마크입니다. 실험환경은 CPU의 경우 Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU @ 3.80GHz 을 사용하였고 GPU의 경우 NVIDIA GeForce RTX 5090를 사용하였습니다. 10번 측정한 값의 평균치입니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 80.174 34.116 24.705 2.140
Small 4 54.537 22.900 16.349 1.447
Small 5 56.380 22.884 16.296 1.326
Medium 3 24.450 10.145 7.756 0.589
Medium 4 20.422 8.408 6.419 0.494
Medium 5 20.545 8.087 6.080 0.459
Large 3 22.222 9.489 7.581 0.583
Large 4 19.739 8.429 6.676 0.509
Large 5 18.540 7.566 5.858 0.456

손실 부트스트랩의 경우 실수값만 있는 암호문에 대해서 좀 더 빨리 수행됩니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 72.628 33.699 23.179 2.013
Small 4 47.709 20.558 14.787 1.315
Small 5 50.619 20.842 14.892 1.197
Medium 3 18.279 7.632 5.948 0.464
Medium 4 14.905 6.150 4.753 0.360
Medium 5 14.930 6.037 4.497 0.337
Large 3 16.323 7.056 5.789 0.451
Large 4 14.316 6.148 5.010 0.378
Large 5 13.081 5.385 4.270 0.326

부호 부트스트랩

부호 부트스트랩은 손실 부트스트랩의 응용으로서 부호 메세지(-1 또는 1)를 높은 정밀도로 부트스트랩 할 수 있는 기법입니다. 부호 메세지밖에 부트스트랩 할 수 없는 대신, 결과물의 유효자리가 대강 3배 이상 늘어납니다. 부호 메세지에 대해서 효율적인 노이즈 제거가 가능하며, 이로 인해 min 과 max 같은 비교 연산을 빠르고 정밀하게 수행할 수 있게 도와줍니다. 간이 부트스트랩 키를 사용하거나 손실 부트스트랩 키를 생성해서 수행할 수 있습니다. 14 레벨 부트스트랩 파라미터에서는 지원하지 않습니다.

손실 부트스트랩 키를 이용한 부호 부트스트랩

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
lossy_bootstrap_key = engine.create_lossy_bootstrap_key(
    secret_key, stage_count=3
)

message = [-1, 1]
ciphertext = engine.encrypt(message, public_key, level=3)
bootstrapped = engine.sign_bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, lossy_bootstrap_key
)

간이 부트스트랩 키

from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)
secret_key = engine.create_secret_key()
public_key = engine.create_public_key(secret_key)
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
rotation_key = engine.create_rotation_key(secret_key)
small_bootstrap_key = engine.create_small_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 1]
ciphertext_level_3 = engine.encrypt(message, public_key, level=3)
bootstrapped = engine.sign_bootstrap(
    ciphertext_level_3,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
)

ciphertext_level_5 = engine.encrypt(message, public_key, level=5)
bootstrapped_stage_count_5 = engine.sign_bootstrap(
    ciphertext_level_5,
    relinearization_key,
    conjugation_key,
    rotation_key,
    small_bootstrap_key,
    stage_count=5,
)

벤치마크

다음은 부호 부트스트랩의 성능 벤치마크입니다. 실험환경은 CPU의 경우 Intel(R) Core(TM) i7-10700K CPU @ 3.80GHz 을 사용하였고 GPU의 경우 NVIDIA GeForce RTX 5090를 사용하였습니다. 10번 측정한 값의 평균치입니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 78.827 34.179 24.825 2.134
Small 4 53.524 22.790 16.341 1.431
Small 5 54.988 22.973 16.325 1.337
Medium 3 24.488 10.150 7.772 0.588
Medium 4 20.310 8.484 6.449 0.488
Medium 5 20.269 8.145 6.077 0.462
Large 3 22.412 9.531 7.602 0.594
Large 4 20.224 8.373 6.674 0.507
Large 5 18.211 7.500 5.847 0.448

부호 부트스트랩의 경우 실수값만 있는 암호문에 대해서 좀 더 빨리 수행됩니다.

Key
Size		 Stage
Count		 Runtime (s)
1 Thread
4 Threads
16 Threads
GPU
Small 3 72.748 33.052 23.141 2.010
Small 4 48.586 20.592 14.801 1.306
Small 5 50.297 20.894 14.933 1.201
Medium 3 18.325 7.711 5.962 0.463
Medium 4 14.911 6.117 4.740 0.359
Medium 5 14.930 5.947 4.500 0.334
Large 3 16.072 7.078 5.775 0.451
Large 4 14.303 6.160 4.998 0.380
Large 5 13.148 5.451 4.282 0.327

부호 메세지 부트스트랩 오차 비교

다음은 일반, 손실, 부호 부트스트랩을 각각 이용하여, 부호 메세지(-1 또는 1)를 부트스트랩할 때 발생하는 평균 오차입니다.

Regular
Bootstrap		 Lossy
Bootstrap		 Sign
Bootstrap
Average error 8.03008e-4 1.60562e-3 1.98124e-08
Precision 10.3 bits 9.3 bits 25.6 bits

부트스트랩 정밀도

다음은 부트스트랩의 정밀도입니다. [-1, 1] 사이에 고루 분포한 메세지를 기준으로 부트스트랩 오차의 평균을 측정한 값입니다. 부호 부트스트랩의 경우 부호 메세지(-1 또는 1)를 기준으로 측정되었습니다.

Average error Precision
Bootstrap 6.72878e-07 20.5 bits
Bootstrap to 14 Levels 7.29874e-06 17.1 bits
Sparse Bootstrap 2.59681e-07 21.9 bits
Lossy Bootstrap 4.01552e-4 11.3 bits
Sign Bootstrap 1.98124e-08 25.6 bits

다음 코드로 측정하였습니다.

부트스트랩 
import numpy as np
from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)

secret_key = engine.create_secret_key()
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
bootstrap_key = engine.create_bootstrap_key(secret_key)

message = np.linspace(-1, 1, engine.slot_count)

ciphertext = engine.encrypt(message, secret_key)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, bootstrap_key
)
decrypted = engine.decrypt(bootstrapped, secret_key)

average_noise = np.mean(abs(message - decrypted))
print(f"Bootstrap Average Noise :{average_noise}")
print(f"Bootstrap Average Noise (Bits) :{np.log2(average_noise)}")
14 레벨 부트스트랩 
import numpy as np
from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap_to_14_levels=True)

secret_key = engine.create_secret_key()
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
bootstrap_key = engine.create_bootstrap_key(secret_key)

message = np.linspace(-1, 1, engine.slot_count)

ciphertext = engine.encrypt(message, secret_key)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, bootstrap_key
)
decrypted = engine.decrypt(bootstrapped, secret_key)

average_noise = np.mean(abs(message - decrypted))
print(f"BootstrapTo14Levels Average Noise :{average_noise}")
print(f"BootstrapTo14Levels Average Noise (Bits) :{np.log2(average_noise)}")
희소 부트스트랩 
import numpy as np
from desilofhe import Engine

engine = Engine(slot_count=1024, use_bootstrap=True)

secret_key = engine.create_secret_key()
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
bootstrap_key = engine.create_bootstrap_key(secret_key)

message = np.linspace(-1, 1, engine.slot_count)

ciphertext = engine.encrypt(message, secret_key)
bootstrapped = engine.bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, bootstrap_key
)
decrypted = engine.decrypt(bootstrapped, secret_key)

average_noise = np.mean(abs(message - decrypted))
print(f"SparseBootstrap Average Noise :{average_noise}")
print(f"SparseBootstrap Average Noise (Bits) :{np.log2(average_noise)}")
손실 부트스트랩 
import numpy as np
from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)

secret_key = engine.create_secret_key()
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
lossy_bootstrap_key = engine.create_lossy_bootstrap_key(secret_key)

message = np.linspace(-1, 1, engine.slot_count)

ciphertext = engine.encrypt(message, secret_key)
bootstrapped = engine.lossy_bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, lossy_bootstrap_key
)
decrypted = engine.decrypt(bootstrapped, secret_key)

average_noise = np.mean(abs(message - decrypted))
print(f"Lossy Bootstrap Average Noise :{average_noise}")
print(f"Lossy Bootstrap Average Noise (Bits) :{np.log2(average_noise)}")
부호 부트스트랩 
import numpy as np
from desilofhe import Engine

engine = Engine(use_bootstrap=True)

secret_key = engine.create_secret_key()
relinearization_key = engine.create_relinearization_key(secret_key)
conjugation_key = engine.create_conjugation_key(secret_key)
lossy_bootstrap_key = engine.create_lossy_bootstrap_key(secret_key)

message = [-1, 1] * (engine.slot_count // 2)

ciphertext = engine.encrypt(message, secret_key)
bootstrapped = engine.sign_bootstrap(
    ciphertext, relinearization_key, conjugation_key, lossy_bootstrap_key
)
decrypted = engine.decrypt(bootstrapped, secret_key)

average_noise = np.mean(abs(message - decrypted))
print(f"Sign Bootstrap Average Noise :{average_noise}")
print(f"Sign Bootstrap Average Noise (Bits) :{np.log2(average_noise)}")